与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。 関数は5つ与えられています。 (1) $f(x) = \frac{3^3}{(1+3x)^4}$ (2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$ (3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$ (4) $f(x) = 8\sin^2 x (1 - \sin^2 x)$ (5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める問題です。 関数は5つ与えられています。

(1) $f(x) = \frac{3^3}{(1+3x)^4}$

(2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1)$

(3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x$

(4) $f(x) = 8\sin^2 x (1 - \sin^2 x)$

(5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

2. 解き方の手順

各関数について、n階導関数を求める手順を以下に示します。

(1) $f(x) = \frac{3^3}{(1+3x)^4} = 27(1+3x)^{-4}$

この関数は、合成関数の微分を繰り返すことで $n$ 階導関数を求めることができます。

まず、$g(x) = (1+3x)^{-4}$ を考えると、

$g'(x) = -4(1+3x)^{-5} \cdot 3$

$g''(x) = (-4)(-5)(1+3x)^{-6} \cdot 3^2$

$g'''(x) = (-4)(-5)(-6)(1+3x)^{-7} \cdot 3^3$

一般に、

$g^{(n)}(x) = (-1)^n (n+3)!/3! (1+3x)^{-(n+4)} \cdot 3^n = (-1)^n \frac{(n+3)!}{6} 3^n (1+3x)^{-(n+4)}$

したがって、

$f^{(n)}(x) = 27 g^{(n)}(x) = 27 (-1)^n \frac{(n+3)!}{6} 3^n (1+3x)^{-(n+4)} = (-1)^n \frac{9}{2} (n+3)! 3^n (1+3x)^{-(n+4)}$

(2) $f(x) = e^{-2x} (2\cos^2(x + \frac{\pi}{36}) - 1) = e^{-2x} \cos(2(x + \frac{\pi}{36})) = e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18})$

積の微分公式を用いる。

$f'(x) = -2e^{-2x} \cos(2x+\frac{\pi}{18}) -2e^{-2x} \sin(2x + \frac{\pi}{18}) = -2e^{-2x} (\cos(2x+\frac{\pi}{18}) + \sin(2x + \frac{\pi}{18})) = -2\sqrt{2} e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18} - \frac{3\pi}{4})$

$f^{(n)}(x) = 2^n e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{2})$

(3) $f(x) = x^2 \cdot 4^x = x^2 e^{x \ln 4}$

積の微分を用いる。ライプニッツの公式より

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (4^x)^{(n-k)}$

$(x^2)^{(0)} = x^2, (x^2)^{(1)} = 2x, (x^2)^{(2)} = 2, (x^2)^{(k)} = 0 (k \ge 3)$

$(4^x)^{(n-k)} = (\ln 4)^{n-k} 4^x$

したがって、

$f^{(n)}(x) = \binom{n}{0} x^2 (\ln 4)^n 4^x + \binom{n}{1} 2x (\ln 4)^{n-1} 4^x + \binom{n}{2} 2 (\ln 4)^{n-2} 4^x$

$f^{(n)}(x) = 4^x \left[ x^2 (\ln 4)^n + 2n x (\ln 4)^{n-1} + n(n-1) (\ln 4)^{n-2} \right]$

(4) $f(x) = 8\sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 8 \sin^2 x \cos^2 x = 2 (2\sin x \cos x)^2 = 2 (\sin 2x)^2 = 2 \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \cos 4x$

$f'(x) = 4\sin 4x$

$f''(x) = 16\cos 4x$

$f^{(n)}(x) = 4^n (-\cos(4x + \frac{n\pi}{2}))$

(5) $f(x) = \frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}$

部分分数分解を行う。

$\frac{12}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} + \frac{D}{x+4}$

$12 = A(x+2)(x+3)(x+4) + B(x+1)(x+3)(x+4) + C(x+1)(x+2)(x+4) + D(x+1)(x+2)(x+3)$

$x = -1: 12 = A(1)(2)(3) \implies A = 2$

$x = -2: 12 = B(-1)(1)(2) \implies B = -6$

$x = -3: 12 = C(-2)(-1)(1) \implies C = 6$

$x = -4: 12 = D(-3)(-2)(-1) \implies D = -2$

$f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{6}{x+2} + \frac{6}{x+3} - \frac{2}{x+4}$

$(\frac{1}{x+a})^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(x+a)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = 2(-1)^n \frac{n!}{(x+1)^{n+1}} - 6(-1)^n \frac{n!}{(x+2)^{n+1}} + 6(-1)^n \frac{n!}{(x+3)^{n+1}} - 2(-1)^n \frac{n!}{(x+4)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{9}{2} (n+3)! 3^n (1+3x)^{-(n+4)}$

(2) $f^{(n)}(x) = 2^n e^{-2x} \cos(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{2})$

(3) $f^{(n)}(x) = 4^x \left[ x^2 (\ln 4)^n + 2n x (\ln 4)^{n-1} + n(n-1) (\ln 4)^{n-2} \right]$

(4) $f^{(n)}(x) = 4^n \cos(4x + \frac{(n+2)\pi}{2})$

(5) $f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \left[ \frac{2}{(x+1)^{n+1}} - \frac{6}{(x+2)^{n+1}} + \frac{6}{(x+3)^{n+1}} - \frac{2}{(x+4)^{n+1}} \right]$