関数 $f(x) = \frac{x+1}{x^2+3}$ の増減を調べ、極値を求める問題です。増減表を作成し、最大値、最小値も求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x+1}{x^2+3}$ の増減を調べ、極値を求める問題です。増減表を作成し、最大値、最小値も求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{(x^2+3)(1) - (x+1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{x^2+3 - 2x^2 - 2x}{(x^2+3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} = \frac{-(x^2+2x-3)}{(x^2+3)^2} = \frac{-(x+3)(x-1)}{(x^2+3)^2}$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは $-(x+3)(x-1) = 0$ を解くことと同じです。

よって、$x = -3$ または $x = 1$ が極値の候補となる点です。

$x^2 + 3$ は常に正なので、$(x^2+3)^2$ も常に正です。したがって、$f'(x)$ の符号は $-(x+3)(x-1)$ の符号によって決まります。

- $x < -3$ のとき、$x+3 < 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、$-(x+3)(x-1) < 0$ となり、$f'(x) < 0$ (減少)。

- $-3 < x < 1$ のとき、$x+3 > 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、$-(x+3)(x-1) > 0$ となり、$f'(x) > 0$ (増加)。

- $x > 1$ のとき、$x+3 > 0$ かつ $x-1 > 0$ なので、$-(x+3)(x-1) < 0$ となり、$f'(x) < 0$ (減少)。

したがって、$x=-3$ で極小値をとり、$x=1$ で極大値をとります。

$x=-3$ のとき、$f(-3) = \frac{-3+1}{(-3)^2+3} = \frac{-2}{9+3} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

$x=1$ のとき、$f(1) = \frac{1+1}{1^2+3} = \frac{2}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -3 | ... | 1 | ... |

| :--- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

3. 最終的な答え

A = -3, B = 1, C: +, D = -3, E = 1, F: -

Max.value = 1/2

Min.value = -1/6