## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Aにおける法線の方程式を求める問題です。問題は以下の2つです。

(1) 曲線: $y = \frac{2}{x}$, 点A: $(1, 2)$

(2) 曲線: $y = \sin x$, 点A: $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$

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2. 解き方の手順

法線は、曲線上の点における接線に垂直な直線です。したがって、法線の方程式を求めるには、まず接線の傾きを求め、次にその傾きと垂直な直線の傾き（法線の傾き）を求めます。最後に、点Aと法線の傾きを使って、法線の方程式を求めます。

(1) $y = \frac{2}{x}$ の場合

1. 導関数を求める：$y' = -\frac{2}{x^2}$

2. 点A(1, 2)における接線の傾きを求める：$y'(1) = -\frac{2}{1^2} = -2$

3. 法線の傾きを求める：接線の傾きが-2なので、法線の傾きは$m = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$

4. 法線の方程式を求める：点(1, 2)を通り、傾きが$\frac{1}{2}$の直線の方程式は、$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$ より、$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

(2) $y = \sin x$ の場合

1. 導関数を求める：$y' = \cos x$

2. 点A($\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}$)における接線の傾きを求める：$y'(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 法線の傾きを求める：接線の傾きが$\frac{\sqrt{3}}{2}$なので、法線の傾きは$m = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

4. 法線の方程式を求める：点($\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}$)を通り、傾きが$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$の直線の方程式は、$y - \frac{1}{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{6})$ より、$y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{9} + \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

(2) $y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{9} + \frac{1}{2}$