関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ の増減を調べ、極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}}$ の増減を調べ、極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$の定義域を求めます。

根号の中身が0以上である必要があるので、$x-1 \geq 0$。また、分母が0にならない必要があるので、$x-1 \neq 0$。よって、$x > 1$です。

次に、$f(x)$を微分します。

$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x-1}} = x(x-1)^{-1/2}$

積の微分公式と合成関数の微分公式を用いて、

$f'(x) = (x)'(x-1)^{-1/2} + x((x-1)^{-1/2})'$

$= (1)(x-1)^{-1/2} + x(-\frac{1}{2})(x-1)^{-3/2}(1)$

$= (x-1)^{-1/2} - \frac{1}{2}x(x-1)^{-3/2}$

$= \frac{1}{\sqrt{x-1}} - \frac{x}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$

$= \frac{2(x-1) - x}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$

$= \frac{2x - 2 - x}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$

$= \frac{x - 2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$

$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

$\frac{x - 2}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = 0$

$x-2 = 0$より、$x = 2$

増減表を作成します。

$x$ | 1 < x < 2 | 2 | 2 < x

------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | - | 0 | +

$f(x)$ | decrease | | increase

$x = 2$のとき、$f(2) = \frac{2}{\sqrt{2-1}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$

$x=2$で極小値$2$を取ります。極大値はありません。

増減表から、$1 < x < 2$で減少、$2 < x$で増加します。

3. 最終的な答え

$1 < x < 2$ で減少。

$2 < x$ で増加。

極小値：$x=2$のとき、$2$

極大値：なし

A < x < B : 1 < x < 2, C : decrease

D < x : 2 < x, E : increase

Max.value = なし

Min.value = 2