与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。 (1) $y = \frac{2}{x+1}$, $A(1, 1)$ (2) $y = \sqrt{7-2x}$, $A(-1, 3)$ (3) $y = \log x$, $A(e, 1)$ (4) $y = 2\sin x$, $A(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2})$

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。

(1) $y = \frac{2}{x+1}$, $A(1, 1)$

(2) $y = \sqrt{7-2x}$, $A(-1, 3)$

(3) $y = \log x$, $A(e, 1)$

(4) $y = 2\sin x$, $A(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2})$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2}{x+1}$の場合

まず、導関数を求めます。

$y' = \frac{-2}{(x+1)^2}$

点$A(1, 1)$における接線の傾きは、

$y'(1) = \frac{-2}{(1+1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

接線の方程式は、$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$ より、

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 1$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を変えたものなので、 $2$

法線の方程式は、$y - 1 = 2(x - 1)$ より、

$y = 2x - 2 + 1$

$y = 2x - 1$

(2) $y = \sqrt{7-2x}$の場合

導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{7-2x}} \cdot (-2) = \frac{-1}{\sqrt{7-2x}}$

点$A(-1, 3)$における接線の傾きは、

$y'(-1) = \frac{-1}{\sqrt{7-2(-1)}} = \frac{-1}{\sqrt{9}} = -\frac{1}{3}$

接線の方程式は、$y - 3 = -\frac{1}{3}(x - (-1))$ より、

$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} + 3$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$

法線の傾きは、$3$

法線の方程式は、$y - 3 = 3(x - (-1))$ より、

$y = 3x + 3 + 3$

$y = 3x + 6$

(3) $y = \log x$の場合

導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{x}$

点$A(e, 1)$における接線の傾きは、

$y'(e) = \frac{1}{e}$

接線の方程式は、$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$ より、

$y = \frac{1}{e}x - 1 + 1$

$y = \frac{1}{e}x$

法線の傾きは、$-e$

法線の方程式は、$y - 1 = -e(x - e)$ より、

$y = -ex + e^2 + 1$

(4) $y = 2\sin x$の場合

導関数を求めます。

$y' = 2\cos x$

点$A(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2})$における接線の傾きは、

$y'(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

接線の方程式は、$y - \sqrt{2} = \sqrt{2}(x - \frac{\pi}{4})$ より、

$y = \sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{4} + \sqrt{2}$

法線の傾きは、$-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

法線の方程式は、$y - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}(x - \frac{\pi}{4})$ より、

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 接線：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$、法線：$y = 2x - 1$

(2) 接線：$y = -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$、法線：$y = 3x + 6$

(3) 接線：$y = \frac{1}{e}x$、法線：$y = -ex + e^2 + 1$

(4) 接線：$y = \sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{4} + \sqrt{2}$、法線：$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} + \sqrt{2}$