問題は $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を簡単にすることです。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを目指します。$\sqrt{A-B}$ の形をしており、$A = 6$、$B = 3\sqrt{3}$ です。

二重根号を外す公式は $\sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ です。

この公式に合うように、$6-3\sqrt{3}$ の形を変形していきます。

まず、$3\sqrt{3}$ を $2\sqrt{ab}$ の形にするために、$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{ab}$ となるようにします。

両辺を2乗すると $\frac{27}{4} = ab$ となります。

また、$a+b = 6$ です。

$b = 6-a$ を $\frac{27}{4} = ab$ に代入すると $\frac{27}{4} = a(6-a)$。

$27 = 24a - 4a^2$

$4a^2 - 24a + 27 = 0$

これを解の公式で解くと、

$a = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 4 \cdot 27}}{2 \cdot 4} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{8} = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{8} = \frac{24 \pm 12}{8}$

$a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$ または $a = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$a = \frac{9}{2}$ とすると、$b = 6 - \frac{9}{2} = \frac{12-9}{2} = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{2}$ とすると、$b = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2}$

どちらでも良いですが、$a \geq b$ となるように、$a = \frac{9}{2}$、$b = \frac{3}{2}$ とします。

したがって、$6 - 3\sqrt{3} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2}}$ となり、

$\sqrt{6-3\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{\frac{27}{4}}} = \sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

分母を有理化して、$\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$