与えられた2次式 $8x^2 + 6xy - 5y^2$ を因数分解し、$(Ax-y)(Bx+Cy)$ の形にするとき、$A$, $B$, $C$ に当てはまる数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $8x^2 + 6xy - 5y^2$ を因数分解し、$(Ax-y)(Bx+Cy)$ の形にするとき、$A$, $B$, $C$ に当てはまる数を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次式 $8x^2 + 6xy - 5y^2$ を因数分解することを考えます。

$8x^2$の項は、$8x^2 = (4x)(2x)$ もしくは $(8x)(x)$ と分解できます。

$-5y^2$の項は、$-5y^2 = (-5y)(y)$ もしくは $(5y)(-y)$ と分解できます。

たすき掛けを行い、$6xy$の項が出てくる組み合わせを探します。

$(4x + ay)(2x + by)$ の形を考えます。

$8x^2 + (4b+2a)xy + aby^2 = 8x^2 + 6xy - 5y^2$となるように、$a$と$b$を探します。

$ab = -5$となる組み合わせは、$a=5, b=-1$もしくは$a=-5, b=1$、$a=1, b=-5$もしくは$a=-1, b=5$です。

- $a=5, b=-1$のとき、$4b+2a = -4+10 = 6$となり、これは条件を満たします。

よって、$8x^2 + 6xy - 5y^2 = (4x+5y)(2x-y)$ と因数分解できます。

あるいは、$(8x + ay)(x + by)$の形を考えます。

$8x^2 + (8b+a)xy + aby^2 = 8x^2 + 6xy - 5y^2$となるように、$a$と$b$を探します。

$ab = -5$となる組み合わせは、$a=5, b=-1$もしくは$a=-5, b=1$、$a=1, b=-5$もしくは$a=-1, b=5$です。

- $a=5, b=-1$のとき、$8b+a = -8+5 = -3$となり、これは条件を満たしません。

- $a=-5, b=1$のとき、$8b+a = 8-5 = 3$となり、これは条件を満たしません。

- $a=1, b=-5$のとき、$8b+a = -40+1 = -39$となり、これは条件を満たしません。

- $a=-1, b=5$のとき、$8b+a = 40-1 = 39$となり、これは条件を満たしません。

したがって、$8x^2 + 6xy - 5y^2 = (2x-y)(4x+5y)$ となります。

問題文の形に合わせると、$8x^2 + 6xy - 5y^2 = (4x+5y)(2x-y)$ ですので、セ=2, ソ=4, タ=5 です。

3. 最終的な答え

セ: 2

ソ: 4

タ: 5