$a$を正の定数とする。二次方程式 $x^2 - (4a+2)x + 3a^2 + 8a - 3 = 0$ の2つの解を $p, q$ とするとき、$p^2 + q^2 = 40$ が成り立つ。 (i) $a$ の値を求めよ。 (ii) $\frac{q}{p} + \frac{p}{q}$ の値を求めよ。 (iii) $p, q$ の小数部分をそれぞれ $P, Q$ とするとき、$\frac{P-1}{Q} + \frac{Q-1}{P} + \frac{1}{PQ}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とする。二次方程式 $x^2 - (4a+2)x + 3a^2 + 8a - 3 = 0$ の2つの解を $p, q$ とするとき、$p^2 + q^2 = 40$ が成り立つ。

(i) $a$ の値を求めよ。

(ii) $\frac{q}{p} + \frac{p}{q}$ の値を求めよ。

(iii) $p, q$ の小数部分をそれぞれ $P, Q$ とするとき、$\frac{P-1}{Q} + \frac{Q-1}{P} + \frac{1}{PQ}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 解と係数の関係より、

$p + q = 4a + 2$

$pq = 3a^2 + 8a - 3$

与えられた条件 $p^2 + q^2 = 40$ を利用すると、

$(p+q)^2 - 2pq = 40$

$(4a+2)^2 - 2(3a^2+8a-3) = 40$

$16a^2 + 16a + 4 - 6a^2 - 16a + 6 = 40$

$10a^2 + 10 = 40$

$10a^2 = 30$

$a^2 = 3$

$a = \pm\sqrt{3}$

$a$は正の定数であるから、$a = \sqrt{3}$

(ii) $\frac{q}{p} + \frac{p}{q} = \frac{p^2 + q^2}{pq} = \frac{40}{3a^2 + 8a - 3}$

$a = \sqrt{3}$ を代入すると、

$\frac{40}{3(\sqrt{3})^2 + 8\sqrt{3} - 3} = \frac{40}{9 + 8\sqrt{3} - 3} = \frac{40}{6 + 8\sqrt{3}} = \frac{20}{3 + 4\sqrt{3}}$

分母を有理化すると、

$\frac{20(3-4\sqrt{3})}{(3+4\sqrt{3})(3-4\sqrt{3})} = \frac{20(3-4\sqrt{3})}{9 - 16(3)} = \frac{20(3-4\sqrt{3})}{9 - 48} = \frac{20(3-4\sqrt{3})}{-39} = \frac{-20(3-4\sqrt{3})}{39} = \frac{20(4\sqrt{3}-3)}{39}$

(iii) $\frac{P-1}{Q} + \frac{Q-1}{P} + \frac{1}{PQ} = \frac{P(P-1) + Q(Q-1) + 1}{PQ} = \frac{P^2 - P + Q^2 - Q + 1}{PQ}$

$x^2 - (4a+2)x + 3a^2 + 8a - 3 = 0$

$a = \sqrt{3}$ より、

$x^2 - (4\sqrt{3}+2)x + 3(\sqrt{3})^2 + 8\sqrt{3} - 3 = 0$

$x^2 - (4\sqrt{3}+2)x + 9 + 8\sqrt{3} - 3 = 0$

$x^2 - (4\sqrt{3}+2)x + 6 + 8\sqrt{3} = 0$

解の公式より、

$x = \frac{4\sqrt{3}+2 \pm \sqrt{(4\sqrt{3}+2)^2 - 4(6+8\sqrt{3})}}{2} = \frac{4\sqrt{3}+2 \pm \sqrt{48 + 16\sqrt{3} + 4 - 24 - 32\sqrt{3}}}{2} = \frac{4\sqrt{3}+2 \pm \sqrt{28 - 16\sqrt{3}}}{2} = \frac{4\sqrt{3}+2 \pm \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{4\sqrt{3}+2 \pm (4-2\sqrt{3})}{2}$

$x = \frac{4\sqrt{3}+2 + 4-2\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}+6}{2} = \sqrt{3} + 3$

$x = \frac{4\sqrt{3}+2 - (4-2\sqrt{3})}{2} = \frac{6\sqrt{3}-2}{2} = 3\sqrt{3} - 1$

$p = \sqrt{3} + 3$, $q = 3\sqrt{3} - 1$ とすると、$p, q$ の整数部分はそれぞれ $3 + 1 = 4$, $3 \cdot 1 - 1 = 2$ である。

$P = (\sqrt{3}+3) - 4 = \sqrt{3} - 1$

$Q = (3\sqrt{3}-1) - 4 = 3\sqrt{3} - 5$

$\frac{P-1}{Q} + \frac{Q-1}{P} + \frac{1}{PQ} = \frac{P^2 - P + Q^2 - Q + 1}{PQ} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{3}-1) + (3\sqrt{3}-5)^2 - (3\sqrt{3}-5) + 1}{(\sqrt{3}-1)(3\sqrt{3}-5)}$

$= \frac{(3 - 2\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3} + 1 + (27 - 30\sqrt{3} + 25) - 3\sqrt{3} + 5 + 1}{(3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 5)} = \frac{56 - 36\sqrt{3}}{14 - 8\sqrt{3}} = \frac{28 - 18\sqrt{3}}{7 - 4\sqrt{3}}$

$= \frac{(28 - 18\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{196 + 112\sqrt{3} - 126\sqrt{3} - 216}{49 - 48} = \frac{-20 - 14\sqrt{3}}{1} = -20 - 14\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(i) $a = \sqrt{3}$

(ii) $\frac{20(4\sqrt{3}-3)}{39}$

(iii) $-20 - 14\sqrt{3}$