赤球4個、白球2個、青球1個、黄球1個の合計8個の球から4個を選ぶ方法の総数を求める問題です。ただし、選ばれない色があってもよいものとします。

1. 問題の内容

赤球4個、白球2個、青球1個、黄球1個の合計8個の球から4個を選ぶ方法の総数を求める問題です。ただし、選ばれない色があってもよいものとします。

2. 解き方の手順

まず、各色の球の個数を変数で表します。

赤球の個数を $x_1$、白球の個数を $x_2$、青球の個数を $x_3$、黄球の個数を $x_4$とします。

このとき、$x_1, x_2, x_3, x_4$ は非負の整数であり、以下の条件を満たします。

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4$

$0 \le x_1 \le 4$

$0 \le x_2 \le 2$

$0 \le x_3 \le 1$

$0 \le x_4 \le 1$

この条件を満たす整数の組 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ の個数を求めます。

まず、制限がない場合を考えます。つまり、$x_1, x_2, x_3, x_4$ が全て非負の整数であるという条件のみを考えます。このとき、組み合わせの公式を用いると、

${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$

ここで、$n=4$（変数の種類数）、$r=4$（選ぶ球の個数）なので、

${}_{4}H_{4} = {}_{4+4-1}C_{4} = {}_{7}C_{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

次に、制限がある場合を考えます。

$x_2 > 2$ となるのは $x_2 = 3, 4$ の場合です。

$x_2 = 3$ のとき、$x_1+x_3+x_4 = 1$ となる非負整数解は ${}_{3}H_1 = {}_{3}C_1 = 3$通り

$x_2 = 4$ のとき、$x_1+x_3+x_4 = 0$ となる非負整数解は ${}_{3}H_0 = {}_{3}C_0 = 1$通り

したがって、$x_2 > 2$ となるのは $3+1=4$通り

$x_3 > 1$ となるのは $x_3=2,3,4$の場合ですが、$x_3$ が2以上の場合は $x_3+x_4 >1$となり、$x_1+x_2+x_3+x_4 =4$ を満たさない。

$x_3 = 2$ のとき、$x_1+x_2+x_4 = 2$ となる非負整数解は ${}_{3}H_2 = {}_{3+2-1}C_2 = {}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

$x_3 = 3$ のとき、$x_1+x_2+x_4 = 1$ となる非負整数解は ${}_{3}H_1 = {}_{3+1-1}C_1 = {}_{3}C_1 = 3$通り

$x_3 = 4$ のとき、$x_1+x_2+x_4 = 0$ となる非負整数解は ${}_{3}H_0 = {}_{3+0-1}C_0 = {}_{2}C_0 = 1$通り

したがって、$x_3 > 1$ となるのは $6+3+1 = 10$通り

$x_4 > 1$ となるのは $x_4=2,3,4$の場合ですが、$x_4$ が2以上の場合は $x_3+x_4 >1$となり、$x_1+x_2+x_3+x_4 =4$ を満たさない。

$x_4 = 2$ のとき、$x_1+x_2+x_3 = 2$ となる非負整数解は ${}_{3}H_2 = {}_{3+2-1}C_2 = {}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

$x_4 = 3$ のとき、$x_1+x_2+x_3 = 1$ となる非負整数解は ${}_{3}H_1 = {}_{3+1-1}C_1 = {}_{3}C_1 = 3$通り

$x_4 = 4$ のとき、$x_1+x_2+x_3 = 0$ となる非負整数解は ${}_{3}H_0 = {}_{3+0-1}C_0 = {}_{2}C_0 = 1$通り

したがって、$x_4 > 1$ となるのは $6+3+1 = 10$通り

$x_2>2$の時、$x_3>1$も$x_4>1$も同時に起こりえない

$x_3>1$かつ$x_4>1$の時、$x_3+x_4>=4$なので$x_1=0,x_2=0$のみ

$x_3=2,x_4=2$

総数 - ( $x_2>2$となる場合数 + $x_3>1$となる場合数 + $x_4>1$となる場合数 )

$35 - (4 + 0 + 0 ) = 31$ とはならない。

$x_2 \le 2, x_3 \le 1, x_4 \le 1$を満たす組み合わせをすべて数え上げるのが確実です。

列挙すると、(4,0,0,0), (3,1,0,0), (3,0,1,0), (3,0,0,1), (2,2,0,0), (2,1,1,0), (2,1,0,1), (2,0,1,1), (1,2,1,0), (1,2,0,1), (0,2,1,1), (2,0,2,0)

各色の球の個数を考慮して網羅的に数え上げます。

* 赤4: 1通り

* 赤3: 白1, 青1, 黄1: 3通り

* 赤2: 白2, 白1+青1, 白1+黄1, 青1+黄1: 1+2+1 = 4通り

* 赤1: 白2+青1, 白2+黄1, 白1+青1+黄1: 2+1 = 3通り

* 赤0: 白2+青1+黄1: 1通り

1+3+4+3+1 = 12通り

3. 最終的な答え

12通り