関数 $f(x)$ が連続ならば、$|f(x)|$ も連続となることを証明する。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が連続ならば、$|f(x)|$ も連続となることを証明する。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が連続であるとは、任意の $x_0$ に対して、

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\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

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が成り立つことを意味する。絶対値関数 $|x|$ は連続である。なぜなら、任意の $x_0$ に対して、

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||x| - |x_0|| \le |x - x_0|

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が成り立つから、$x \to x_0$ のとき $|x| \to |x_0|$ となる。

ここで、$g(x) = |x|$ と置くと、$|f(x)| = g(f(x))$ となる。つまり、$|f(x)|$ は $g(x)$ と $f(x)$ の合成関数である。

一般に、連続関数 $f(x)$ と連続関数 $g(x)$ の合成関数 $g(f(x))$ は連続である。なぜなら、関数 $f(x)$ が $x=x_0$ で連続で、関数 $g(x)$ が $x=f(x_0)$ で連続ならば、

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\lim_{x \to x_0} g(f(x)) = g( \lim_{x \to x_0} f(x) ) = g(f(x_0))

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が成り立つからである。

したがって、$f(x)$ が連続であり、$g(x) = |x|$ も連続であるから、$|f(x)| = g(f(x))$ も連続である。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ が連続ならば、$|f(x)|$ も連続となる。