3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=0$ で極大値2をとり、$x=2$ で極小値-6をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=0$ で極大値2をとり、$x=2$ で極小値-6をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x=0$ で極大値2をとるので、

$f(0) = 2$

$f'(0) = 0$

(2) $f(x)$ が $x=2$ で極小値-6をとるので、

$f(2) = -6$

$f'(2) = 0$

(3) まず、$f(0) = 2$ より、

$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 2$

$d = 2$

(4) 次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

(5) $f'(0) = 0$ より、

$3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0$

$c = 0$

(6) $f(2) = -6$ より、

$a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = -6$

$8a + 4b + 2c + d = -6$

$8a + 4b + 2(0) + 2 = -6$

$8a + 4b = -8$

$2a + b = -2$

(7) $f'(2) = 0$ より、

$3a(2)^2 + 2b(2) + c = 0$

$12a + 4b + c = 0$

$12a + 4b + 0 = 0$

$12a + 4b = 0$

$3a + b = 0$

(8) 連立方程式を解く。

$2a + b = -2$

$3a + b = 0$

下の式から上の式を引くと、

$(3a + b) - (2a + b) = 0 - (-2)$

$a = 2$

$b = -3a = -3(2) = -6$

したがって、$a=2, b=-6, c=0, d=2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -6$

$c = 0$

$d = 2$