数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ で定義されるとき、数列 $\{a_n\}$ が単調増加であることを数学的帰納法で示す問題です。言い換えると、$a_n \le a_{n+1}$ を全ての自然数 $n$ について証明する必要があります。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ で定義されるとき、数列 $\{a_n\}$ が単調増加であることを数学的帰納法で示す問題です。言い換えると、$a_n \le a_{n+1}$ を全ての自然数 $n$ について証明する必要があります。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて、$a_n \le a_{n+1}$ を証明します。

(i) $n=1$ のとき：

$a_1 = 1$ であり、$a_2 = \sqrt{2+a_1} = \sqrt{2+1} = \sqrt{3}$ です。

$1 \le \sqrt{3}$ であるので、$a_1 \le a_2$ が成り立ちます。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k \le a_{k+1}$ が成り立つと仮定します。

つまり、$a_k \le a_{k+1}$ が成り立つと仮定します。

(iii) $n=k+1$ のとき、$a_{k+1} \le a_{k+2}$ を示す必要があります。

$a_{k+1} \le a_{k+1}$を仮定しています。両辺に2を足すと、$2+a_k \le 2+a_{k+1}$となります。

この両辺の平方根をとると、$\sqrt{2+a_k} \le \sqrt{2+a_{k+1}}$となります。

ここで、$a_{k+1} = \sqrt{2+a_k}$ であり、$a_{k+2} = \sqrt{2+a_{k+1}}$ であることを思い出すと、$a_{k+1} \le a_{k+2}$ が成り立ちます。

したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について、$a_n \le a_{n+1}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ は単調増加である。