(1) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2$ が極値をもつとき、定数 $a$ が満たすべき条件を求める。 (2) 関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 6ax$ が極大値と極小値をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 + ax^2$ が極値をもつとき、定数 $a$ が満たすべき条件を求める。

(2) 関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 6ax$ が極大値と極小値をもつような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x)$ が極値を持つための条件は、$f'(x) = 0$ となる $x$ が存在し、その前後で $f'(x)$ の符号が変化することである。

まず、$f(x) = x^3 + ax^2$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 2ax = 0$

$x(3x + 2a) = 0$

$x = 0, -\frac{2a}{3}$

$f'(x) = 3x(x + \frac{2a}{3})$

$x=0$と$x=-\frac{2a}{3}$が異なる値を取るとき、$f(x)$は極値を持つ。

つまり、$0 \neq -\frac{2a}{3}$ である必要があるので、$a \neq 0$

(2)

関数 $f(x)$ が極大値と極小値をもつためには、$f'(x) = 0$ となる異なる2つの $x$ が存在する必要がある。

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 6ax$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 6a$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 12x + 6a = 0$

$x^2 - 4x + 2a = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-4)^2 - 4(1)(2a) = 16 - 8a$

$16 - 8a > 0$

$8a < 16$

$a < 2$

3. 最終的な答え

(1) $a \neq 0$

(2) $a < 2$