関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + x + 1$ が極値を持たないための必要十分条件を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + x + 1$ が極値を持たないための必要十分条件を求める問題です。ただし、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極値を持たないための必要十分条件は、$f'(x) = 0$ が実数解を持たないか、または重解を持つことです。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 1$

次に、$f'(x) = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (2a)^2 - 4(3)(1) = 4a^2 - 12$

$f(x)$ が極値を持たないための必要十分条件は、$D \le 0$ となることです。

$4a^2 - 12 \le 0$

$a^2 - 3 \le 0$

$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) \le 0$

したがって、$-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$ が求める条件です。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$