与えられた関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求め、そのときの $x$ の値を求めます。 (1) $y = x^3 - 6x^2 + 10$ ($-2 \le x \le 3$) (2) $y = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ ($-1 \le x \le 3$)

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求め、そのときの $x$ の値を求めます。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 10$ ($-2 \le x \le 3$)

(2) $y = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ ($-1 \le x \le 3$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 10$ の場合

まず、導関数を求めます。

$y' = 3x^2 - 12x = 3x(x-4)$

$y'=0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x(x-4)=0$ より、$x=0, 4$

定義域 $-2 \le x \le 3$ 内にあるのは $x=0$ です。$x=4$ は定義域外なので考慮しません。

次に、$x=-2, 0, 3$ における $y$ の値を計算します。

$x=-2$ のとき、$y = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 10 = -8 - 24 + 10 = -22$

$x=0$ のとき、$y = (0)^3 - 6(0)^2 + 10 = 10$

$x=3$ のとき、$y = (3)^3 - 6(3)^2 + 10 = 27 - 54 + 10 = -17$

したがって、最大値は $10$ ($x=0$)、最小値は $-22$ ($x=-2$) です。

(2) $y = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ の場合

まず、導関数を求めます。

$y' = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

$y'=0$ となる $x$ の値を求めます。

$12x(x-2)(x+1)=0$ より、$x=-1, 0, 2$

定義域 $-1 \le x \le 3$ 内にあるのは $x=-1, 0, 2$ です。

次に、$x=-1, 0, 2, 3$ における $y$ の値を計算します。

$x=-1$ のとき、$y = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = 3 + 4 - 12 = -5$

$x=0$ のとき、$y = 3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 = 0$

$x=2$ のとき、$y = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 = 48 - 32 - 48 = -32$

$x=3$ のとき、$y = 3(3)^4 - 4(3)^3 - 12(3)^2 = 243 - 108 - 108 = 27$

したがって、最大値は $27$ ($x=3$)、最小値は $-32$ ($x=2$) です。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $10$ ($x=0$)

最小値: $-22$ ($x=-2$)

(2)

最大値: $27$ ($x=3$)

最小値: $-32$ ($x=2$)