数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ で定義される。 (1) 数列 $\{a_n\}$ が単調増加であることを数学的帰納法で示す。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が上に有界であることを数学的帰納法で示す（ヒント：$a_n < 5/2$）。 (3) 数列 $\{a_n\}$ は単調増加かつ上に有界なので収束する。その極限 $\alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ で定義される。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が単調増加であることを数学的帰納法で示す。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が上に有界であることを数学的帰納法で示す（ヒント：$a_n < 5/2$）。

(3) 数列 $\{a_n\}$ は単調増加かつ上に有界なので収束する。その極限 $\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ が単調増加であること、つまり任意の自然数 $n$ に対して $a_{n+1} \ge a_n$ であることを数学的帰納法で示す。

* (i) $n=1$ のとき： $a_2 = \sqrt{2 + a_1} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$. $a_2 = \sqrt{3} > 1 = a_1$ なので、$a_2 \ge a_1$ は成り立つ。

* (ii) $n = k$ のとき、$a_{k+1} \ge a_k$ が成り立つと仮定する。このとき、$n = k + 1$ のとき、$a_{k+2} \ge a_{k+1}$ が成り立つことを示す。

$a_{k+2} = \sqrt{2 + a_{k+1}}$

$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_{k}}$

仮定より $a_{k+1} \ge a_k$ なので、

$2 + a_{k+1} \ge 2 + a_k$

$\sqrt{2 + a_{k+1}} \ge \sqrt{2 + a_k}$

$a_{k+2} \ge a_{k+1}$

したがって、$n = k+1$ のときも、$a_{n+1} \ge a_n$ が成り立つ。

以上 (i), (ii) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して $a_{n+1} \ge a_n$ が成り立つ。よって、数列 $\{a_n\}$ は単調増加である。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が上に有界であること、つまり任意の自然数 $n$ に対して $a_n < 5/2$ であることを数学的帰納法で示す。

* (i) $n=1$ のとき：$a_1 = 1$. $1 < 5/2$ なので、$a_1 < 5/2$ は成り立つ。

* (ii) $n = k$ のとき、$a_k < 5/2$ が成り立つと仮定する。このとき、$n = k+1$ のとき、$a_{k+1} < 5/2$ が成り立つことを示す。

$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k}$

仮定より $a_k < 5/2$ なので、

$2 + a_k < 2 + 5/2 = 9/2$

$\sqrt{2 + a_k} < \sqrt{9/2} = 3/\sqrt{2} = (3\sqrt{2})/2 = \sqrt{18}/2$

ここで、$18 < 25/4 * 4 = 25$ なので、

$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{9/2} < 5/2$.

したがって、$n = k+1$ のときも、$a_{n} < 5/2$ が成り立つ。

以上 (i), (ii) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ に対して $a_n < 5/2$ が成り立つ。よって、数列 $\{a_n\}$ は上に有界である。

(3) 数列 $\{a_n\}$ は単調増加かつ上に有界なので、極限値 $\alpha$ を持つ。$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ の両辺の極限を取ると、

$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 + a_n}$

$\alpha = \sqrt{2 + \alpha}$

両辺を2乗すると、

$\alpha^2 = 2 + \alpha$

$\alpha^2 - \alpha - 2 = 0$

$(\alpha - 2)(\alpha + 1) = 0$

$\alpha = 2, -1$. 数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 1$ より正の値を取るので、極限値も正でなければならない。したがって、$\alpha = 2$.

3. 最終的な答え

(1) 省略（上記の解き方の手順を参照）

(2) 省略（上記の解き方の手順を参照）

(3) $\alpha = 2$