実数 $a$ を定数とするとき、3次方程式 $2x^3 - 6x + 3 - a = 0$ の異なる実数解の個数を調べる問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とするとき、3次方程式 $2x^3 - 6x + 3 - a = 0$ の異なる実数解の個数を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を以下のように変形します。

$2x^3 - 6x + 3 = a$

$f(x) = 2x^3 - 6x + 3$ とおくと、与えられた方程式の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数に等しくなります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) = 6(x - 1)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 1, -1$ です。

増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|------|------|----|-----|----|-----|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | | 減少| | 増加 |

$f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 3 = -2 + 6 + 3 = 7$

$f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 3 = 2 - 6 + 3 = -1$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値7をとり、$x = 1$ で極小値-1をとります。

$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数は、$a$ の値によって変わります。

* $a < -1$ のとき、交点の個数は1個

* $a = -1$ のとき、交点の個数は2個

* $-1 < a < 7$ のとき、交点の個数は3個

* $a = 7$ のとき、交点の個数は2個

* $a > 7$ のとき、交点の個数は1個

3. 最終的な答え

* $a < -1$ または $a > 7$ のとき、実数解の個数は1個

* $a = -1$ または $a = 7$ のとき、実数解の個数は2個

* $-1 < a < 7$ のとき、実数解の個数は3個