関数 $y = x^2 - 2ax - 4 + a^2$ の $0 \le x \le 4$ における最小値を求める問題です。最小値を与える $x$ の値と、その時の最小値を、$a$ の範囲によって場合分けして答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax - 4 + a^2$ の $0 \le x \le 4$ における最小値を求める問題です。最小値を与える $x$ の値と、その時の最小値を、$a$ の範囲によって場合分けして答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax - 4 + a^2 = (x-a)^2 - a^2 - 4 + a^2 = (x-a)^2 - 4$

これは、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域が $0 \le x \le 4$ であることに注意し、軸の位置によって場合分けをします。

(1) $a < 0$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の左側にあるので、$x=0$ で最小値をとります。

最小値は、$y = 0^2 - 2a(0) - 4 + a^2 = a^2 - 4$ となります。

(2) $0 \le a \le 4$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の中にあるので、$x=a$ で最小値をとります。

最小値は、$y = (a-a)^2 - 4 = -4$ となります。

(3) $4 < a$ のとき

軸 $x=a$ が定義域の右側にあるので、$x=4$ で最小値をとります。

最小値は、$y = 4^2 - 2a(4) - 4 + a^2 = 16 - 8a - 4 + a^2 = a^2 - 8a + 12$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最小値 $a^2 - 4$

(2) $0 \le a \le 4$ のとき、$x = a$ で最小値 $-4$

(3) $4 < a$ のとき、$x = 4$ で最小値 $a^2 - 8a + 12$