与えられた二次式 $4x^2 + 12x - 9$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $4x^2 + 12x - 9$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた二次式 $4x^2 + 12x - 9$ を因数分解することを考えます。

まず、$4x^2$ と $-9$ がそれぞれ $(2x)^2$ と $(-3)^2$ になっていることに着目します。

ここで、もし与えられた式が完全平方式であれば、$(2x \pm 3)^2$ の形になるはずです。

しかし、

$(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$

$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

であるため、$4x^2 + 12x - 9$ は完全平方式ではありません。

そこで、次のように式を変形します。

$4x^2 + 12x - 9 = 4x^2 + 12x + 9 - 18 = (2x+3)^2 - 18$

ここで、$18$ は $(\sqrt{18})^2 = (3\sqrt{2})^2$ と書けるので、

$(2x+3)^2 - (3\sqrt{2})^2$ は差の平方の形になります。

差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、

$(2x+3)^2 - (3\sqrt{2})^2 = (2x+3+3\sqrt{2})(2x+3-3\sqrt{2})$

となります。

3. 最終的な答え

$(2x+3+3\sqrt{2})(2x+3-3\sqrt{2})$