2次方程式 $x^2 + 3ax + a^2 - a + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3ax + a^2 - a + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

この2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (3a)^2 - 4(1)(a^2 - a + 3)$

$D = 9a^2 - 4a^2 + 4a - 12$

$D = 5a^2 + 4a - 12$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要があるので、

$5a^2 + 4a - 12 > 0$

この不等式を解くために、まず $5a^2 + 4a - 12 = 0$ を解きます。因数分解すると、

$(5a - 6)(a + 2) = 0$

よって、$a = \frac{6}{5}, -2$ となります。

$5a^2 + 4a - 12 > 0$ の解は、$a < -2$ または $a > \frac{6}{5}$ となります。$\frac{6}{5}$ を小数に直すと $1.2$ なので、

$a < -2$ または $a > 1.2$ と表すことができます。

また、$1.2 = \frac{6}{5}$ であり、問題文の表記に合わせて $\frac{6}{5} = \frac{3}{4}\times 2 = 1\frac{1}{5} \approx 1.2$と考えると、$a < -2$ または $a > \frac{6}{5}$とすると、問題文の条件に合うように、$a<-2$、$\frac{3}{4} < \frac{6}{5} < a$となる。

3. 最終的な答え

$a < -2$ , $\frac{6}{5} < a$