二次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 - 6$ の $-2 \le x \le 5$ における最小値を求める問題です。$a$ の値によって場合分けを行い、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 - 6$ の $-2 \le x \le 5$ における最小値を求める問題です。$a$ の値によって場合分けを行い、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 - 6 = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 - 6 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 - 6 = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 - 6 = 2(x - a)^2 - 6$

この式より、頂点の座標は $(a, -6)$ であることがわかります。

次に、定義域 $-2 \le x \le 5$ と頂点の $x$ 座標 $a$ の位置関係によって場合分けを行います。

(1) $a < -2$ のとき：

定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ の値は小さくなるので、$x = -2$ で最小値をとります。

$x = -2$ を元の式に代入すると、$y = 2(-2)^2 - 4a(-2) + 2a^2 - 6 = 8 + 8a + 2a^2 - 6 = 2a^2 + 8a + 2$

(2) $-2 \le a \le 5$ のとき：

頂点の $x$ 座標 $a$ が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$x = a$ のとき、$y = -6$

(3) $5 < a$ のとき：

定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ の値は小さくなるので、$x = 5$ で最小値をとります。

$x = 5$ を元の式に代入すると、$y = 2(5)^2 - 4a(5) + 2a^2 - 6 = 50 - 20a + 2a^2 - 6 = 2a^2 - 20a + 44$

3. 最終的な答え

(1) $a < -2$ のとき、 $x = -2$ で最小値 $2a^2 + 8a + 2$

(2) $-2 \le a \le 5$ のとき、$x = a$ で最小値 $-6$

(3) $5 < a$ のとき、$x = 5$ で最小値 $2a^2 - 20a + 44$