二次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 + 4$ の $-5 \le x \le 3$ における最小値を求め、場合分けに応じて空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 + 4$ の $-5 \le x \le 3$ における最小値を求め、場合分けに応じて空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 + 4 = 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 + 4 = 2(x - a)^2 + 4$

この二次関数の軸は $x = a$ であり、下に凸の放物線です。定義域 $-5 \le x \le 3$ における最小値を求めるために、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(1) $a < -5$ のとき

軸が定義域よりも左にあるため、$x = -5$ のとき最小値をとります。最小値は $2(-5 - a)^2 + 4 = 2(25 + 10a + a^2) + 4 = 2a^2 + 20a + 54$ となります。

(2) $-5 \le a \le 3$ のとき

軸が定義域内にあるため、$x = a$ のとき最小値をとります。最小値は $2(a - a)^2 + 4 = 4$ となります。

(3) $3 < a$ のとき

軸が定義域よりも右にあるため、$x = 3$ のとき最小値をとります。最小値は $2(3 - a)^2 + 4 = 2(9 - 6a + a^2) + 4 = 2a^2 - 12a + 22$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a < -5$ のとき、$x = -5$ で最小値 $2a^2 + 20a + 54$

(2) $-5 \le a \le 3$ のとき、$x = a$ で最小値 $4$

(3) $3 < a$ のとき、$x = 3$ で最小値 $2a^2 - 12a + 22$