$x + y + z = 0$, $xy + yz + zx = -5$, $xyz = 2$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ と $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x + y + z = 0$, $xy + yz + zx = -5$, $xyz = 2$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ と $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 + z^2$ の値を求める。

$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$ の関係式を利用する。

$x + y + z = 0$ であるから、

$0 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$

$x^2 + y^2 + z^2 = -2(xy + yz + zx)$

$xy + yz + zx = -5$ を代入すると、

$x^2 + y^2 + z^2 = -2(-5) = 10$

次に、$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2$ の値を求める。

$(xy + yz + zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2(xy^2z + xyz^2 + x^2yz)$ の関係式を利用する。

$(xy + yz + zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(x + y + z)$

$xy + yz + zx = -5$ と $x + y + z = 0$ と $xyz = 2$ を代入すると、

$(-5)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2(2)(0)$

$25 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2$

よって、$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 25$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + z^2 = 10$

$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 25$