関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 3$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値を求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 + 3$ の $-3 \le x \le 0$ における最大値を求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax) - a^2 + 3 = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a^2 + 3 = -(x - a)^2 + a^2 - a^2 + 3 = -(x - a)^2 + 3$

よって、この関数の頂点の座標は $(a, 3)$ です。この関数は上に凸な放物線なので、軸 $x = a$ の位置によって最大値をとる $x$ の値が変わります。

(1) $a < -3$ のとき

区間 $-3 \le x \le 0$ において、関数は単調減少です。したがって、$x = -3$ で最大値をとります。

$y(-3) = -(-3-a)^2 + 3 = -(9 + 6a + a^2) + 3 = -a^2 - 6a - 6$

(2) $-3 \le a \le 0$ のとき

頂点が区間 $-3 \le x \le 0$ に含まれているので、$x = a$ で最大値をとります。

$y(a) = 3$

(3) $0 < a$ のとき

区間 $-3 \le x \le 0$ において、関数は単調増加です。したがって、$x = 0$ で最大値をとります。

$y(0) = -(0 - a)^2 + 3 = -a^2 + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a < -3$ のとき、$x = -3$ で最大値 $-a^2 - 6a - 6$

(2) $-3 \le a \le 0$ のとき、$x = a$ で最大値 $3$

(3) $0 < a$ のとき、$x = 0$ で最大値 $-a^2 + 3$