連立不等式 $\begin{cases} 7x - 5 > 13 - 2x \\ x + a \geq 3x + 5 \end{cases}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

7x - 5 > 13 - 2x \\

x + a \geq 3x + 5

\end{cases}$

を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式:

$7x - 5 > 13 - 2x$

$9x > 18$

$x > 2$

2つ目の不等式:

$x + a \geq 3x + 5$

$-2x \geq 5 - a$

$2x \leq a - 5$

$x \leq \frac{a - 5}{2}$

したがって、連立不等式の解は、

$2 < x \leq \frac{a - 5}{2}$

となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ がちょうど5個であることから、$x = 3, 4, 5, 6, 7$ が含まれ、$x = 8$ は含まれない必要があります。つまり、

$7 \leq \frac{a - 5}{2} < 8$

が成り立ちます。

この不等式を解くと、

$14 \leq a - 5 < 16$

$19 \leq a < 21$

3. 最終的な答え

$19 \leq a < 21$