2次関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 - 1$ の $0 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ の値によって場合分けが必要です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2ax - a^2 - 1$ の $0 \le x \le 4$ における最大値を求める問題です。ただし、$a$ の値によって場合分けが必要です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax) - a^2 - 1$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a^2 - 1$

$y = -(x - a)^2 + a^2 - a^2 - 1$

$y = -(x - a)^2 - 1$

このグラフは、頂点が $(a, -1)$ の上に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値を、$a$ の値によって場合分けして考えます。

(1) $a < 0$ のとき：

頂点の $x$ 座標が定義域の左端より左にあるので、$x = 0$ で最大値をとります。

$x = 0$ を代入すると、

$y = -0^2 + 2a(0) - a^2 - 1 = -a^2 - 1$

(2) $0 \le a \le 4$ のとき：

頂点の $x$ 座標が定義域内にあるので、$x = a$ で最大値をとります。

$x = a$ を代入すると、$y = -1$

(3) $4 < a$ のとき：

頂点の $x$ 座標が定義域の右端より右にあるので、$x = 4$ で最大値をとります。

$x = 4$ を代入すると、

$y = -4^2 + 2a(4) - a^2 - 1 = -16 + 8a - a^2 - 1 = -a^2 + 8a - 17$

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ のとき、 $x = 0$ で最大値 $-a^2 - 1$

(2) $0 \le a \le 4$ のとき、 $x = a$ で最大値 $-1$

(3) $4 < a$ のとき、 $x = 4$ で最大値 $-a^2 + 8a - 17$