関数 $y = -3x^2 + 6ax - 3a^2 + 6$ について、 $-3 \le x \le 2$ の範囲における最大値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 + 6ax - 3a^2 + 6$ について、 $-3 \le x \le 2$ の範囲における最大値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -3(x^2 - 2ax) - 3a^2 + 6$

$y = -3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 3a^2 + 6$

$y = -3(x-a)^2 + 3a^2 - 3a^2 + 6$

$y = -3(x-a)^2 + 6$

これは、頂点が $(a, 6)$ で上に凸の放物線です。

定義域が $-3 \le x \le 2$ であるので、最大値は軸 $x=a$ の位置によって変わります。

(1) $a < -3$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = -3$ で最大値をとります。

$x = -3$ を代入すると、

$y = -3(-3)^2 + 6a(-3) - 3a^2 + 6$

$y = -27 - 18a - 3a^2 + 6$

$y = -3a^2 - 18a - 21$

(2) $-3 \le a \le 2$ のとき

頂点が定義域内にあるので、$x = a$ で最大値をとります。

$x = a$ を代入すると、$y = 6$

(3) $2 < a$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = 2$ で最大値をとります。

$x = 2$ を代入すると、

$y = -3(2)^2 + 6a(2) - 3a^2 + 6$

$y = -12 + 12a - 3a^2 + 6$

$y = -3a^2 + 12a - 6$

3. 最終的な答え

(1) $a < -3$ のとき、$x = -3$ で最大値 $-3a^2 - 18a - 21$

(2) $-3 \le a \le 2$ のとき、$x = a$ で最大値 $6$

(3) $2 < a$ のとき、$x = 2$ で最大値 $-3a^2 + 12a - 6$