不等式 $|x-7| + |x-8| < 3$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $|x-7| + |x-8| < 3$ を解け。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、$x$ の値によって場合分けを行う。

(i) $x < 7$ のとき

$x-7 < 0$ かつ $x-8 < 0$ であるから、$|x-7| = -(x-7) = 7-x$ および $|x-8| = -(x-8) = 8-x$ となる。

よって、不等式は $7-x + 8-x < 3$ となる。

これを解くと、

$15-2x < 3$

$-2x < -12$

$2x > 12$

$x > 6$

したがって、$6 < x < 7$

(ii) $7 \le x < 8$ のとき

$x-7 \ge 0$ かつ $x-8 < 0$ であるから、$|x-7| = x-7$ および $|x-8| = -(x-8) = 8-x$ となる。

よって、不等式は $x-7 + 8-x < 3$ となる。

これを解くと、

$1 < 3$

これは常に成り立つので、$7 \le x < 8$

(iii) $x \ge 8$ のとき

$x-7 > 0$ かつ $x-8 \ge 0$ であるから、$|x-7| = x-7$ および $|x-8| = x-8$ となる。

よって、不等式は $x-7 + x-8 < 3$ となる。

これを解くと、

$2x - 15 < 3$

$2x < 18$

$x < 9$

したがって、$8 \le x < 9$

(i), (ii), (iii) より、$6 < x < 7$, $7 \le x < 8$, $8 \le x < 9$ を合わせると、$6 < x < 9$

3. 最終的な答え

$6 < x < 9$