以下の3つの式について、2重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ (2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

以下の3つの式について、2重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$

(2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$

まず$\sqrt{24}$を$2\sqrt{6}$に変形する。

$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$となる。

$5 = 3 + 2$であり、$6 = 3 \times 2$であるから、$\sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3 \times 2}}$と考える。

したがって$\sqrt{3} + \sqrt{2}$となる。

(2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$

まず$4\sqrt{6}$を$2\sqrt{24}$に変形する。

$\sqrt{11 + 2\sqrt{24}}$となる。

$11 = 8 + 3$であり、$24 = 8 \times 3$であるから、$\sqrt{(8+3) + 2\sqrt{8 \times 3}}$と考える。

したがって$\sqrt{8} + \sqrt{3}$となる。

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$であるから、$2\sqrt{2} + \sqrt{3}$となる。

(3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

まず$8\sqrt{2}$を$2\sqrt{32}$に変形する。

$\sqrt{12 - 2\sqrt{32}}$となる。

$12 = 8 + 4$であり、$32 = 8 \times 4$であるから、$\sqrt{(8+4) - 2\sqrt{8 \times 4}}$と考える。

したがって$\sqrt{8} - \sqrt{4}$となる。

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$であり、$\sqrt{4} = 2$であるから、$2\sqrt{2} - 2$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

(2) $2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

(3) $2\sqrt{2} - 2$