ベクトル $\vec{a} = (1, 0)$ と $\vec{b} = (0, 1)$ を用いて、与えられたベクトル $\vec{c} = (2, 3)$ と $\vec{d} = (-4, 7)$ を $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ および $\vec{d} = m\vec{a} + n\vec{b}$ の形で表す。つまり、実数 $m$ と $n$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 0)$ と $\vec{b} = (0, 1)$ を用いて、与えられたベクトル $\vec{c} = (2, 3)$ と $\vec{d} = (-4, 7)$ を $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ および $\vec{d} = m\vec{a} + n\vec{b}$ の形で表す。つまり、実数 $m$ と $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c} = (2, 3)$ の場合:

$\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ とすると、

$(2, 3) = m(1, 0) + n(0, 1)$

$(2, 3) = (m, 0) + (0, n)$

$(2, 3) = (m, n)$

したがって、$m = 2$ かつ $n = 3$ となる。

(2) $\vec{d} = (-4, 7)$ の場合:

$\vec{d} = m\vec{a} + n\vec{b}$ とすると、

$(-4, 7) = m(1, 0) + n(0, 1)$

$(-4, 7) = (m, 0) + (0, n)$

$(-4, 7) = (m, n)$

したがって、$m = -4$ かつ $n = 7$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$

(2) $\vec{d} = -4\vec{a} + 7\vec{b}$