数学と英語のテスト結果のデータが与えられています。このデータから相関係数を計算し、小数第二位まで求めます。

1. 問題の内容

数学と英語のテスト結果のデータが与えられています。このデータから相関係数を計算し、小数第二位まで求めます。

2. 解き方の手順

相関係数は、2つの変数の関係の強さを表す指標です。以下の手順で計算します。

(1) 各変数の平均を計算する。

(2) 各変数の標準偏差を計算する。

(3) 共分散を計算する。

(4) 相関係数を計算する。

与えられたデータを以下のように表します。

数学: $x_i$ = {67, 46, 78, 31, 83}

英語: $y_i$ = {78, 64, 89, 45, 54}

データ数: $n = 5$

(1) 平均の計算

数学の平均 $\bar{x}$:

$\bar{x} = \frac{67+46+78+31+83}{5} = \frac{305}{5} = 61$

英語の平均 $\bar{y}$:

$\bar{y} = \frac{78+64+89+45+54}{5} = \frac{330}{5} = 66$

(2) 標準偏差の計算

数学の標準偏差 $s_x$:

$s_x^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{(67-61)^2+(46-61)^2+(78-61)^2+(31-61)^2+(83-61)^2}{5-1}$

$s_x^2 = \frac{36+225+289+900+484}{4} = \frac{1934}{4} = 483.5$

$s_x = \sqrt{483.5} \approx 21.99$

英語の標準偏差 $s_y$:

$s_y^2 = \frac{\sum_{i=1}^{5}(y_i - \bar{y})^2}{n-1} = \frac{(78-66)^2+(64-66)^2+(89-66)^2+(45-66)^2+(54-66)^2}{5-1}$

$s_y^2 = \frac{144+4+529+441+144}{4} = \frac{1262}{4} = 315.5$

$s_y = \sqrt{315.5} \approx 17.76$

(3) 共分散の計算

共分散 $s_{xy}$:

$s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1} = \frac{(67-61)(78-66)+(46-61)(64-66)+(78-61)(89-66)+(31-61)(45-66)+(83-61)(54-66)}{5-1}$

$s_{xy} = \frac{6\cdot12 + (-15)\cdot(-2) + 17\cdot23 + (-30)\cdot(-21) + 22\cdot(-12)}{4} = \frac{72+30+391+630-264}{4} = \frac{859}{4} = 214.75$

(4) 相関係数の計算

相関係数 $r$:

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{214.75}{21.99 \cdot 17.76} \approx \frac{214.75}{390.57} \approx 0.5498$

小数第二位まで求めると $0.55$

3. 最終的な答え

0. 55