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与えられた5つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + (5y + 1)x + (2y - 1)(3y + 2)$ (2) $x^2 - (a + 5)x - (2a^2 - a - 6)$ (3) $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12$ (4) $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ (5) $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$

代数学因数分解多項式
2025/5/18

1. 問題の内容

与えられた5つの式を因数分解する問題です。
(1) x2+(5y+1)x+(2y−1)(3y+2)x^2 + (5y + 1)x + (2y - 1)(3y + 2)
(2) x2−(a+5)x−(2a2−a−6)x^2 - (a + 5)x - (2a^2 - a - 6)
(3) x2−3xy+2y2−x+5y−12x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12
(4) 2x2+xy−y2−3x+12x^2 + xy - y^2 - 3x + 1
(5) 6x2−7xy+2y2−6x+5y−126x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12

2. 解き方の手順

(1) x2+(5y+1)x+(2y−1)(3y+2)x^2 + (5y + 1)x + (2y - 1)(3y + 2)
和が 5y+15y + 1、積が (2y−1)(3y+2)(2y - 1)(3y + 2) となるような2つの式を見つけます。
(2y−1)(2y - 1) と (3y+2)(3y + 2) を足すと 5y+15y + 1 になるので、
x2+(5y+1)x+(2y−1)(3y+2)=(x+2y−1)(x+3y+2)x^2 + (5y + 1)x + (2y - 1)(3y + 2) = (x + 2y - 1)(x + 3y + 2)
(2) x2−(a+5)x−(2a2−a−6)x^2 - (a + 5)x - (2a^2 - a - 6)
まず、定数項の 2a2−a−62a^2 - a - 6 を因数分解します。
2a2−a−6=(2a+3)(a−2)2a^2 - a - 6 = (2a + 3)(a - 2)
したがって、x2−(a+5)x−(2a2−a−6)=x2−(a+5)x−(2a+3)(a−2)x^2 - (a + 5)x - (2a^2 - a - 6) = x^2 - (a + 5)x - (2a + 3)(a - 2)
和が −(a+5)-(a + 5)、積が −(2a+3)(a−2)-(2a + 3)(a - 2) となる2つの式を見つけます。
−(2a+3)-(2a + 3) と (a−2)(a - 2) を足すと −2a−3+a−2=−a−5=−(a+5)-2a - 3 + a - 2 = -a - 5 = -(a + 5) となるので、
x2−(a+5)x−(2a+3)(a−2)=(x−2a−3)(x+a−2)x^2 - (a + 5)x - (2a + 3)(a - 2) = (x - 2a - 3)(x + a - 2)
(3) x2−3xy+2y2−x+5y−12x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12
まず、x2−3xy+2y2x^2 - 3xy + 2y^2 を因数分解します。
x2−3xy+2y2=(x−y)(x−2y)x^2 - 3xy + 2y^2 = (x - y)(x - 2y)
したがって、x2−3xy+2y2−x+5y−12=(x−y)(x−2y)−x+5y−12x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 5y - 12 = (x - y)(x - 2y) - x + 5y - 12
(x−y+a)(x−2y+b)=x2−3xy+2y2+(a+b)x−(2a+b)y+ab(x - y + a)(x - 2y + b) = x^2 - 3xy + 2y^2 + (a + b)x - (2a + b)y + ab
a+b=−1a + b = -1、−(2a+b)=5-(2a + b) = 5、 ab=−12ab = -12 を満たす aa, bb を求めます。
2a+b=−52a + b = -5, a+b=−1a + b = -1 より、a=−4a = -4, b=3b = 3
したがって、(x−y−4)(x−2y+3)(x - y - 4)(x - 2y + 3)
(4) 2x2+xy−y2−3x+12x^2 + xy - y^2 - 3x + 1
2x2+xy−y2=(2x−y)(x+y)2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)
2x2+xy−y2−3x+1=(2x−y+a)(x+y+b)2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1 = (2x - y + a)(x + y + b)
(2x−y+a)(x+y+b)=2x2+xy−y2+(a+2b)x+(a−b)y+ab(2x - y + a)(x + y + b) = 2x^2 + xy - y^2 + (a + 2b)x + (a - b)y + ab
a+2b=−3a + 2b = -3、 a−b=0a - b = 0 より、a=b=−1a = b = -1
したがって、(2x−y−1)(x+y−1)(2x - y - 1)(x + y - 1)
(5) 6x2−7xy+2y2−6x+5y−126x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12
6x2−7xy+2y2=(2x−y)(3x−2y)6x^2 - 7xy + 2y^2 = (2x - y)(3x - 2y)
(2x−y+a)(3x−2y+b)=6x2−7xy+2y2+(3a+2b)x−(2a+b)y+ab(2x - y + a)(3x - 2y + b) = 6x^2 - 7xy + 2y^2 + (3a + 2b)x - (2a + b)y + ab
3a+2b=−63a + 2b = -6、−(2a+b)=5-(2a + b) = 5 より、2a+b=−52a + b = -5, 3a+2b=−63a + 2b = -6
a=4a = 4, b=−13b = -13
したがって、(2x−y+4)(3x−2y−3)(2x - y + 4)(3x - 2y -3)

3. 最終的な答え

(1) (x+2y−1)(x+3y+2)(x + 2y - 1)(x + 3y + 2)
(2) (x−2a−3)(x+a−2)(x - 2a - 3)(x + a - 2)
(3) (x−y−4)(x−2y+3)(x - y - 4)(x - 2y + 3)
(4) (2x−y−1)(x+y−1)(2x - y - 1)(x + y - 1)
(5) (2x−y+4)(3x−2y−3)(2x - y + 4)(3x - 2y - 3)

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