数学と英語のテストの結果のデータが与えられています。このデータから相関係数を計算し、小数第2位まで求めます。数学の得点は A, B, C, D, E の順に 91, 87, 75, 65, 77 であり、英語の得点は A, B, C, D, E の順に 63, 63, 55, 70, 69 です。

1. 問題の内容

数学と英語のテストの結果のデータが与えられています。このデータから相関係数を計算し、小数第2位まで求めます。数学の得点は A, B, C, D, E の順に 91, 87, 75, 65, 77 であり、英語の得点は A, B, C, D, E の順に 63, 63, 55, 70, 69 です。

2. 解き方の手順

まず、数学の得点を $x$、英語の得点を $y$ とします。

次に、各変数の平均と標準偏差を計算します。

さらに、共分散を計算します。

最後に、相関係数の公式を使って相関係数を計算します。

(1) 平均の計算:

数学の平均 $\bar{x} = \frac{91 + 87 + 75 + 65 + 77}{5} = \frac{395}{5} = 79$

英語の平均 $\bar{y} = \frac{63 + 63 + 55 + 70 + 69}{5} = \frac{320}{5} = 64$

(2) 標準偏差の計算:

数学の標準偏差 $s_x$ は、各データ点と平均の差の二乗の平均の平方根です。

$s_x = \sqrt{\frac{(91-79)^2 + (87-79)^2 + (75-79)^2 + (65-79)^2 + (77-79)^2}{5}} = \sqrt{\frac{144 + 64 + 16 + 196 + 4}{5}} = \sqrt{\frac{424}{5}} = \sqrt{84.8} \approx 9.21$

英語の標準偏差 $s_y$ も同様に計算します。

$s_y = \sqrt{\frac{(63-64)^2 + (63-64)^2 + (55-64)^2 + (70-64)^2 + (69-64)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1 + 1 + 81 + 36 + 25}{5}} = \sqrt{\frac{144}{5}} = \sqrt{28.8} \approx 5.37$

(3) 共分散の計算:

共分散 $cov(x, y)$ は、各データ点について $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ を計算し、その平均を取ります。

$cov(x, y) = \frac{(91-79)(63-64) + (87-79)(63-64) + (75-79)(55-64) + (65-79)(70-64) + (77-79)(69-64)}{5}$

$cov(x, y) = \frac{(12)(-1) + (8)(-1) + (-4)(-9) + (-14)(6) + (-2)(5)}{5} = \frac{-12 - 8 + 36 - 84 - 10}{5} = \frac{-78}{5} = -15.6$

(4) 相関係数の計算:

相関係数 $r$ は、共分散を各変数の標準偏差の積で割ったものです。

$r = \frac{cov(x, y)}{s_x \cdot s_y} = \frac{-15.6}{9.21 \cdot 5.37} = \frac{-15.6}{49.45} \approx -0.315$

小数第2位まで求めるので、相関係数は $-0.32$ となります。

3. 最終的な答え

-0.32