$(a-2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)(a^3 + 8b^3)$ を展開せよ。

## 問題の解答

以下に、提示された4つの問題の解答を示します。

### (1) の問題

1. 問題の内容

$(a-2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)(a^3 + 8b^3)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a-2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$ を計算します。これは、$a^3 - (2b)^3$ の公式に一致します。

$$(a-2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) = a^3 - 8b^3$$

次に、この結果と $(a^3 + 8b^3)$ を掛け合わせます。これは $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の公式に一致します。

$$(a^3 - 8b^3)(a^3 + 8b^3) = (a^3)^2 - (8b^3)^2$$

$$= a^6 - 64b^6$$

3. 最終的な答え

$a^6 - 64b^6$

### (2) の問題

1. 問題の内容

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ計算します。

$$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$$

$$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$$

ここで、$y = x^2 + 5x$ と置くと、

$$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = (y + 4)(y + 6)$$

$$= y^2 + 10y + 24$$

$y$ を元に戻すと、

$$(x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = (x^4 + 10x^3 + 25x^2) + (10x^2 + 50x) + 24$$

$$= x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$$

3. 最終的な答え

$x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

### (3) の問題

1. 問題の内容

$(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(a-b-c)$ と $(a-b+c)(a+b-c)$ をそれぞれ計算します。

$(a+b+c)(a-b-c) = (a + (b+c))(a - (b+c)) = a^2 - (b+c)^2 = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - 2bc - c^2$

$(a-b+c)(a+b-c) = (a - (b-c))(a + (b-c)) = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

次に、この2つの結果を掛け合わせます。

$(a^2 - b^2 - 2bc - c^2)(a^2 - b^2 + 2bc - c^2) = ((a^2 - b^2 - c^2) - 2bc)((a^2 - b^2 - c^2) + 2bc) = (a^2 - b^2 - c^2)^2 - (2bc)^2$

$= (a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 2b^2c^2) - 4b^2c^2$

$= a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

3. 最終的な答え

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2$

### (4) の問題

1. 問題の内容

$(x-y+z)^3$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y+z)^2$ を計算します。

$(x-y+z)^2 = (x-y+z)(x-y+z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2xz - 2yz$

次に、この結果と $(x-y+z)$ を掛け合わせます。

$(x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2xz - 2yz)(x-y+z) = x^3 - x^2y + x^2z + xy^2 - y^3 + y^2z + xz^2 - yz^2 + z^3 - 2x^2y + 2xy^2 - 2xyz + 2x^2z - 2xyz + 2xz^2 - 2xyz + 2y^2z - 2yz^2$

$= x^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 - y^3 + 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 + z^3 - 6xyz$

$= x^3 - y^3 + z^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 - 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 - 6xyz + 3(x^2y-x^2z+xy^2-y^2z+xz^2-yz^2)$

$= x^3 - y^3 + z^3 + 3x^2y - 3x^2z + 3xy^2 - 3y^2z + 3xz^2 - 3yz^2 - 6xyz$

3. 最終的な答え

$x^3 - y^3 + z^3 + 3x^2(z-y) + 3y^2(x-z) + 3z^2(x-y) - 6xyz$

または、$x^3 - 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 + 3xz^2 - y^3 + 3y^2z - 3yz^2 + z^3 - 6xyz$