$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$

このグラフは、頂点が $(1, -3)$ の下に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

最大値は $a$ の値によって変化するので、場合分けを行います。

(i) $0 < a < 1$ のとき、定義域は頂点の左側にあります。したがって、$x = 0$ で最大値をとり、最大値は $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$ となります。

(ii) $a = 1$ のとき、定義域は $0 \le x \le 1$ となり、 $x = 0$ で最大値をとり、最大値は $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$ となります。

(iii) $1 < a$ のとき、定義域は頂点の右側まで含みます。したがって、$x = a$ で最大値をとり、最大値は $y = a^2 - 2a - 2$ となります。

以上より、場合分けをまとめると次のようになります。

- $0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-2$

- $1 < a$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

- $0 < a \le 1$ のとき、最大値は $-2$

- $1 < a$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$