正の実数 $a$ が与えられ、関数 $f(\theta) = \sin 2\theta - 2a(\sin \theta + \cos \theta) + 2$ が定義されている。ここで、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ である。また、$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおく。 (1) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta$ が変化するとき、$t$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表す。 (3) 方程式 $|f(\theta)| = 1$ がちょうど4つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の実数 $a$ が与えられ、関数 $f(\theta) = \sin 2\theta - 2a(\sin \theta + \cos \theta) + 2$ が定義されている。ここで、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ である。また、$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおく。

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta$ が変化するとき、$t$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表す。

(3) 方程式 $|f(\theta)| = 1$ がちょうど4つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ を変形する。

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$ より $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(\theta)$ を $t$ を用いて表す。

まず、$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ である。

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$

よって、$\sin 2\theta = t^2 - 1$

$f(\theta) = \sin 2\theta - 2a(\sin \theta + \cos \theta) + 2 = (t^2 - 1) - 2at + 2 = t^2 - 2at + 1$

(3) $|f(\theta)| = 1$ がちょうど4つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

$|f(\theta)| = |t^2 - 2at + 1| = 1$

$t^2 - 2at + 1 = 1$ または $t^2 - 2at + 1 = -1$

$t^2 - 2at = 0$ または $t^2 - 2at + 2 = 0$

$t(t - 2a) = 0$ または $t^2 - 2at + 2 = 0$

$t = 0, 2a$ または $t = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 8}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 - 2}$

ここで、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\theta$ の値は $t$ の値1つにつき、通常2つ存在する。

$t = \pm \sqrt{2}$ のときは1つのみ。

$|f(\theta)|=1$ がちょうど4つの実数解をもつ条件は、$-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ の範囲に $t$ の値が2つ存在することである。

$t=0$ は常に $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$ を満たす。

1) $2a$ について：

$-\sqrt{2} < 2a < \sqrt{2}$ かつ $2a \neq 0$ が必要。

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$ かつ $a \neq 0$

$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$ （$a$ は正の実数）

2) $a \pm \sqrt{a^2-2}$ について:

$-\sqrt{2} < a - \sqrt{a^2 - 2} < a + \sqrt{a^2 - 2} < \sqrt{2}$

$a^2 - 2 \ge 0$ より $a \ge \sqrt{2}$

$a + \sqrt{a^2 - 2} < \sqrt{2}$ より $\sqrt{a^2 - 2} < \sqrt{2} - a$

$a^2 - 2 < 2 - 2\sqrt{2}a + a^2$

$-2 < 2 - 2\sqrt{2}a$

$2\sqrt{2}a < 4$

$a < \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

これは $a \ge \sqrt{2}$ と矛盾する。よって、$a \pm \sqrt{a^2 - 2}$ は $-\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ の間に存在しない。

したがって、$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ならば、$t=0$と$t=2a$に対して、それぞれ2つの$\theta$が存在するため、合計4つの$\theta$の解を持つ。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}$