$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\theta$を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす$\theta$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ を探します。$\sin$の値が $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ になるのは、$x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$ ( $n$ は整数) のときです。

したがって、

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ または $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$

となります。

それぞれの場合について$\theta$を求めます。

1. $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ の場合

$\theta = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$

2. $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$ の場合

$\theta = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = \frac{6\pi}{3} + 2n\pi$

$\theta = 2\pi + 2n\pi$

$\theta = 2(n+1)\pi$

これらをまとめると、$\theta = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$ または $\theta = 2\pi + 2n\pi$となります。

$\theta$の値を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で求める場合、$n=0$を代入すると

$\theta = \frac{5\pi}{3}$ または $\theta = 2\pi$。

$\theta = 2\pi$ は $0 \le \theta < 2\pi$ に含まれないので、$\theta = 0$を代わりに使うことができます。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$, $\theta = 2\pi + 2n\pi$

もしくは、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で答えるなら、$\theta = \frac{5\pi}{3}, 2\pi$となります。

しかし、$\theta$が$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲の解を求めるなら、$\theta = \frac{5\pi}{3}, 0$になります。

一般解は$\theta = 2n\pi, \frac{5\pi}{3}+2n\pi$ （$n$は整数）