正の数からなる数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{9}$ および $a_{n+1} = a_n^2$ ($n=1,2,3,\dots$) で定義されている。 (1) $b_n = \log_3 a_n$ とおく。 (i) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表し、$b_n$ を求めよ。 (ii) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。 (2) (i) すべての正の整数 $n$ に対して、 $1+a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ が成り立つことを示せ。 (ii) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log_3(1+a_n)$ の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

正の数からなる数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{1}{9}$ および $a_{n+1} = a_n^2$ ($n=1,2,3,\dots$) で定義されている。

(1) $b_n = \log_3 a_n$ とおく。

(i) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表し、$b_n$ を求めよ。

(ii) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

(2) (i) すべての正の整数 $n$ に対して、 $1+a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ が成り立つことを示せ。

(ii) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log_3(1+a_n)$ の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $a_{n+1} = a_n^2$ より、

$b_{n+1} = \log_3 a_{n+1} = \log_3 (a_n^2) = 2 \log_3 a_n = 2b_n$

これは、$b_n$ が公比2の等比数列であることを示している。

$b_1 = \log_3 a_1 = \log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$

したがって、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$

(ii) $a_n = 3^{b_n} = 3^{-2^n}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 3^{-2^n} = 0$

(2)

(i) $1+a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ を示す。

右辺 = $\frac{1 - a_n^2}{1 - a_n} = \frac{(1 - a_n)(1 + a_n)}{1 - a_n} = 1 + a_n$

したがって、$1+a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ が成り立つ。

(ii) $\sum_{n=1}^{\infty} \log_3(1+a_n)$ の収束、発散を調べる。

(2)(i) より、$1+a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ なので、

$\log_3 (1+a_n) = \log_3 \left( \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n} \right) = \log_3 (1 - a_{n+1}) - \log_3 (1 - a_n)$

$S_N = \sum_{n=1}^N \log_3 (1+a_n) = \sum_{n=1}^N (\log_3 (1 - a_{n+1}) - \log_3 (1 - a_n))$

$S_N = (\log_3 (1 - a_2) - \log_3 (1 - a_1)) + (\log_3 (1 - a_3) - \log_3 (1 - a_2)) + \dots + (\log_3 (1 - a_{N+1}) - \log_3 (1 - a_N))$

$S_N = \log_3 (1 - a_{N+1}) - \log_3 (1 - a_1) = \log_3 (1 - a_{N+1}) - \log_3 (1 - \frac{1}{9}) = \log_3 (1 - a_{N+1}) - \log_3 \frac{8}{9}$

$\lim_{N \to \infty} a_{N+1} = 0$ より、$\lim_{N \to \infty} S_N = \log_3 (1 - 0) - \log_3 \frac{8}{9} = \log_3 1 - \log_3 \frac{8}{9} = 0 - \log_3 \frac{8}{9} = - \log_3 \frac{8}{9} = \log_3 \frac{9}{8} = \log_3 9 - \log_3 8 = 2 - \log_3 2^3 = 2 - 3\log_3 2$

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \log_3(1+a_n)$ は収束し、その和は $\log_3 \frac{9}{8}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

(i) $b_{n+1} = 2b_n$, $b_n = -2^n$

(ii) $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

(2)

(i) $1+a_n = \frac{1 - a_{n+1}}{1 - a_n}$ (証明済み)

(ii) 収束し、その和は $\log_3 \frac{9}{8}$