等比数列 $2, -6, 18, \dots$ の一般項 $a_n$ を求め、さらに第8項を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $2, -6, 18, \dots$ の一般項 $a_n$ を求め、さらに第8項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項の公式を確認する。

等比数列の一般項は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$a_n = a \cdot r^{n-1}$ で表される。

与えられた数列 $2, -6, 18, \dots$ から、初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

初項は $a = 2$ である。

公比は、第2項を第1項で割ることで求めることができる。

$r = \frac{-6}{2} = -3$

よって、この等比数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

となる。

次に、第8項を求める。これは、$n=8$ を一般項の式に代入することで得られる。

$a_8 = 2 \cdot (-3)^{8-1} = 2 \cdot (-3)^7 = 2 \cdot (-2187) = -4374$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

第8項: $-4374$