(1) 不等式 $x^2 + 5x + 7 > 0$ を証明しなさい。 (2) $a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ を証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを答えなさい。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 + 5x + 7 > 0$ を証明しなさい。

(2) $a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ を証明し、等号が成り立つのはどのようなときかを答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 + 5x + 7 > 0$ の証明

平方完成を行い、$x^2 + 5x + 7$ を変形します。

$x^2 + 5x + 7 = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 7 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$(x + \frac{5}{2})^2 \ge 0$ であるため、$x^2 + 5x + 7 = (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0$ となり、不等式 $x^2 + 5x + 7 > 0$ が証明されます。

(2) 不等式 $4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ の証明

$4(a^3 + b^3) - (a+b)^3 = 4a^3 + 4b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = 3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 = 3(a^3 - a^2b - ab^2 + b^3) = 3[a^2(a-b) - b^2(a-b)] = 3(a^2 - b^2)(a-b) = 3(a-b)(a+b)(a-b) = 3(a-b)^2(a+b)$

$a>0$, $b>0$ より、$a+b>0$ です。

また、$(a-b)^2 \ge 0$ です。

したがって、$3(a-b)^2(a+b) \ge 0$ となります。

$4(a^3 + b^3) - (a+b)^3 \ge 0$ なので、$4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ が証明されます。

等号が成り立つのは、$a-b=0$、つまり、$a=b$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 5x + 7 > 0$

(2) $4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$

等号が成り立つのは $a=b$ のとき。