数列 $8, a, b$ が等差数列であり、数列 $a, b, 36$ が等比数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $8, a, b$ が等差数列であり、数列 $a, b, 36$ が等比数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の性質から、$a$ は $8$ と $b$ の相加平均である。したがって、

$2a = 8 + b$

次に、等比数列の性質から、$b$ は $a$ と $36$ の相乗平均である。したがって、

$b^2 = 36a$

これらの2つの式から $a$ と $b$ を求める。

最初の式を変形して、$b = 2a - 8$ とする。

これを2番目の式に代入すると、

$(2a - 8)^2 = 36a$

$4a^2 - 32a + 64 = 36a$

$4a^2 - 68a + 64 = 0$

$a^2 - 17a + 16 = 0$

$(a - 1)(a - 16) = 0$

したがって、$a = 1$ または $a = 16$

$a = 1$ のとき、$b = 2(1) - 8 = -6$。このとき、数列 $1, -6, 36$ は公比 $-6$ の等比数列なので条件を満たす。

$a = 16$ のとき、$b = 2(16) - 8 = 32 - 8 = 24$。このとき、数列 $16, 24, 36$ は公比 $3/2$ の等比数列なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 1$ のとき $b = -6$

$a = 16$ のとき $b = 24$