次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。 (1) 頂点が点(1, -2)で、点(2, -3)を通る。 (2) 頂点が点(-1, 3)で、点(1, 11)を通る。

1. 問題の内容

次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

(1) 頂点が点(1, -2)で、点(2, -3)を通る。

(2) 頂点が点(-1, 3)で、点(1, 11)を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(1, -2)であることから、求める2次関数は

$y = a(x-1)^2 - 2$

とおけます。このグラフが点(2, -3)を通るので、この座標を代入して$a$を求めます。

$-3 = a(2-1)^2 - 2$

$-3 = a - 2$

$a = -1$

よって求める2次関数は

$y = -(x-1)^2 - 2$

これを展開して整理すると

$y = -(x^2 - 2x + 1) - 2$

$y = -x^2 + 2x - 1 - 2$

$y = -x^2 + 2x - 3$

(2) 頂点が(-1, 3)であることから、求める2次関数は

$y = a(x+1)^2 + 3$

とおけます。このグラフが点(1, 11)を通るので、この座標を代入して$a$を求めます。

$11 = a(1+1)^2 + 3$

$11 = 4a + 3$

$4a = 8$

$a = 2$

よって求める2次関数は

$y = 2(x+1)^2 + 3$

これを展開して整理すると

$y = 2(x^2 + 2x + 1) + 3$

$y = 2x^2 + 4x + 2 + 3$

$y = 2x^2 + 4x + 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 + 4x + 5$