初項が-99、公差が5の等差数列$\{a_n\}$において、初項から第何項までの和が最小になるかを求め、その最小値となる和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が-99、公差が5の等差数列$\{a_n\}$において、初項から第何項までの和が最小になるかを求め、その最小値となる和を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。

この問題の場合、$a_1 = -99$ 、$d = 5$ なので、

$a_n = -99 + (n-1)5 = 5n - 104$

等差数列の和は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表される。

この問題の場合、$S_n = \frac{n}{2}(-99 + 5n - 104) = \frac{n}{2}(5n - 203)$

和が最小となるのは、$a_n$ が負の数から正の数に変わる直前まで足し合わせたときである。

$a_n < 0$ となる $n$ を求めると、

$5n - 104 < 0$

$5n < 104$

$n < \frac{104}{5} = 20.8$

$n$ は整数なので、$n \le 20$

$a_n > 0$ となる $n$ を求めると、

$5n - 104 > 0$

$5n > 104$

$n > \frac{104}{5} = 20.8$

$n$ は整数なので、$n \ge 21$

したがって、初項から第20項までの和が最小となる。

$S_{20} = \frac{20}{2}(5 \cdot 20 - 203) = 10(100 - 203) = 10(-103) = -1030$

3. 最終的な答え

初項から第20項までの和が最小になる。

そのときの和は-1030。