実数 $k$ を定数とし、$x$ に関する条件 $P: x^2 + 2x - 3 \le 0$ と $Q: x^2 + 2kx + k - 19 \le 0$ が与えられている。$P$ が $Q$ の十分条件となるような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とし、$x$ に関する条件 $P: x^2 + 2x - 3 \le 0$ と $Q: x^2 + 2kx + k - 19 \le 0$ が与えられている。$P$ が $Q$ の十分条件となるような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$P$ の不等式を解く。

$x^2 + 2x - 3 \le 0$ は $(x+3)(x-1) \le 0$ と因数分解できるので、$-3 \le x \le 1$ である。

次に、$P$ が $Q$ の十分条件であるということは、$P$ を満たす $x$ は必ず $Q$ を満たすということである。

つまり、$-3 \le x \le 1$ の範囲の全ての $x$ に対して、$x^2 + 2kx + k - 19 \le 0$ が成り立つ必要がある。

$f(x) = x^2 + 2kx + k - 19$ とおくと、$-3 \le x \le 1$ において $f(x) \le 0$ となる $k$ の範囲を求めれば良い。

$f(x)$ は下に凸な放物線であり、軸は $x = -k$ である。

-3 \le x \le 1 において f(x) \le 0 が成り立つためには、f(-3) \le 0 かつ f(1) \le 0 であることが必要十分条件である。

$f(-3) = (-3)^2 + 2k(-3) + k - 19 = 9 - 6k + k - 19 = -5k - 10 \le 0$

$-5k \le 10$

$k \ge -2$

$f(1) = 1^2 + 2k(1) + k - 19 = 1 + 2k + k - 19 = 3k - 18 \le 0$

$3k \le 18$

$k \le 6$

したがって、$k \ge -2$ かつ $k \le 6$ なので、$-2 \le k \le 6$ である。

3. 最終的な答え

$-2 \le k \le 6$