初項から第3項までの和が21、第3項から第5項までの和が84である等比数列の初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が21、第3項から第5項までの和が84である等比数列の初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2 = 21$ ...(1)

第3項から第5項までの和は $ar^2 + ar^3 + ar^4 = 84$ ...(2)

式(2)を $r^2$ でくくると、 $r^2(a + ar + ar^2) = 84$ となる。

式(1)を代入すると、$21r^2 = 84$

$r^2 = \frac{84}{21} = 4$

したがって、$r = \pm 2$

(i) $r = 2$ のとき、式(1)に代入すると

$a + 2a + 4a = 21$

$7a = 21$

$a = 3$

(ii) $r = -2$ のとき、式(1)に代入すると

$a - 2a + 4a = 21$

$3a = 21$

$a = 7$

3. 最終的な答え

(i) 初項 3、公比 2

(ii) 初項 7、公比 -2