整式 $A = 2x^3 + 5x^2 + 1$ と $B = 2x^3 - 3x^2 + 4x$ について、次の式を求めます。 (1) $A + B$ (2) $A - B$ (3) $A + 2B$ (4) $A - 3B$ (5) $2A + B$ (6) $3A - 2B$

はい、承知いたしました。問題文の指示に従って、数学の問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

整式 $A = 2x^3 + 5x^2 + 1$ と $B = 2x^3 - 3x^2 + 4x$ について、次の式を求めます。

(1) $A + B$

(2) $A - B$

(3) $A + 2B$

(4) $A - 3B$

(5) $2A + B$

(6) $3A - 2B$

2. 解き方の手順

各問題について、AとBの式を代入し、同類項をまとめて計算します。

(1) $A + B = (2x^3 + 5x^2 + 1) + (2x^3 - 3x^2 + 4x)$

$= 2x^3 + 2x^3 + 5x^2 - 3x^2 + 4x + 1$

$= 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1$

(2) $A - B = (2x^3 + 5x^2 + 1) - (2x^3 - 3x^2 + 4x)$

$= 2x^3 - 2x^3 + 5x^2 + 3x^2 - 4x + 1$

$= 8x^2 - 4x + 1$

(3) $A + 2B = (2x^3 + 5x^2 + 1) + 2(2x^3 - 3x^2 + 4x)$

$= 2x^3 + 5x^2 + 1 + 4x^3 - 6x^2 + 8x$

$= 2x^3 + 4x^3 + 5x^2 - 6x^2 + 8x + 1$

$= 6x^3 - x^2 + 8x + 1$

(4) $A - 3B = (2x^3 + 5x^2 + 1) - 3(2x^3 - 3x^2 + 4x)$

$= 2x^3 + 5x^2 + 1 - 6x^3 + 9x^2 - 12x$

$= 2x^3 - 6x^3 + 5x^2 + 9x^2 - 12x + 1$

$= -4x^3 + 14x^2 - 12x + 1$

(5) $2A + B = 2(2x^3 + 5x^2 + 1) + (2x^3 - 3x^2 + 4x)$

$= 4x^3 + 10x^2 + 2 + 2x^3 - 3x^2 + 4x$

$= 4x^3 + 2x^3 + 10x^2 - 3x^2 + 4x + 2$

$= 6x^3 + 7x^2 + 4x + 2$

(6) $3A - 2B = 3(2x^3 + 5x^2 + 1) - 2(2x^3 - 3x^2 + 4x)$

$= 6x^3 + 15x^2 + 3 - 4x^3 + 6x^2 - 8x$

$= 6x^3 - 4x^3 + 15x^2 + 6x^2 - 8x + 3$

$= 2x^3 + 21x^2 - 8x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = 4x^3 + 2x^2 + 4x + 1$

(2) $A - B = 8x^2 - 4x + 1$

(3) $A + 2B = 6x^3 - x^2 + 8x + 1$

(4) $A - 3B = -4x^3 + 14x^2 - 12x + 1$

(5) $2A + B = 6x^3 + 7x^2 + 4x + 2$

(6) $3A - 2B = 2x^3 + 21x^2 - 8x + 3$