20個のデータがあり、そのうち15個のデータの平均値と分散、および残りの5個のデータの平均値と分散が与えられています。このとき、20個のデータ全体の平均値と分散を求める問題です。

1. 問題の内容

20個のデータがあり、そのうち15個のデータの平均値と分散、および残りの5個のデータの平均値と分散が与えられています。このとき、20個のデータ全体の平均値と分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 全体の平均値を求める。

15個のデータの平均値を $\bar{x_1}$ 、5個のデータの平均値を $\bar{x_2}$ とします。

また、全体の平均値を $\bar{x}$ とすると、

$\bar{x} = \frac{15\bar{x_1} + 5\bar{x_2}}{20}$

問題文より、$\bar{x_1} = 10$、$\bar{x_2} = 14$なので、

$\bar{x} = \frac{15 \times 10 + 5 \times 14}{20} = \frac{150 + 70}{20} = \frac{220}{20} = 11$

よって、全体の平均値は11です。

(2) 全体の分散を求める。

15個のデータの分散を $s_1^2$ 、5個のデータの分散を $s_2^2$ とします。

また、全体の分散を $s^2$ とします。

分散の公式より、$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ です。

15個のデータの偏差の2乗和を $S_1$、5個のデータの偏差の2乗和を $S_2$とすると、

$S_1 = 15s_1^2$、 $S_2 = 5s_2^2$となります。

$s_1^2 = 5$、$s_2^2 = 13$より、$S_1 = 15 \times 5 = 75$、$S_2 = 5 \times 13 = 65$

全体の分散$s^2$を求めるために、各データの二乗の平均から全体の平均の二乗を引くことを考えます。

$s^2 = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}(x_i - \bar{x})^2$

偏差の2乗和を求めるために、次の関係を利用します。

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \bar{x}^2$

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 = s^2 + \bar{x}^2$

15個のデータに関して

$\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{15} x_i^2 = s_1^2 + \bar{x_1}^2 = 5 + 10^2 = 105$

$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 15 \times 105 = 1575$

5個のデータに関して

$\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i^2 = s_2^2 + \bar{x_2}^2 = 13 + 14^2 = 13 + 196 = 209$

$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 5 \times 209 = 1045$

20個のデータに関して

$\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} x_i^2 = \frac{1}{20} (\sum_{i=1}^{15} x_i^2 + \sum_{i=1}^{5} x_i^2) = \frac{1}{20}(1575 + 1045) = \frac{2620}{20} = 131$

したがって、

$s^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} x_i^2 - \bar{x}^2 = 131 - 11^2 = 131 - 121 = 10$

よって、全体の分散は10です。

3. 最終的な答え

平均値: 11

分散: 10