与えられた導関数の定義の式から、空欄を埋める問題です。$f'(1)$ を求め、右側極限、左側極限を計算し、それらの関係から $f(x)$ の $x=1$ での性質を判断します。ただし、サとシは選択肢の中から選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

与えられた導関数の定義の式から、空欄を埋める問題です。$f'(1)$ を求め、右側極限、左側極限を計算し、それらの関係から $f(x)$ の $x=1$ での性質を判断します。ただし、サとシは選択肢の中から選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

まず、微分係数の定義より、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

よって、$f(カ) = f(1)$ となります。

次に、$f(x) = |x^2+x-2|$ と仮定します。なぜなら、$f(x) = |x^2 + キx|$の形に見えるからです。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{|(1+h)^2 + (1+h) - 2| - |1^2+1-2|}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{|1+2h+h^2+1+h-2|-|0|}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{|h^2+3h|}{h}$

よって、$キ=3$となります。

右側極限を計算します。$h>0$ のとき、$h^2+3h > 0$ なので、$|h^2+3h| = h^2+3h$ となります。

$\lim_{h \to +0} \frac{|h^2+3h|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h^2+3h}{h} = \lim_{h \to +0} (h+3) = 3$

したがって、$ク=3$です。

左側極限を計算します。$h<0$ のとき、$h^2+3h$ の正負は $h$ の絶対値の大きさによって変わります。

$h=-0$の近傍では、$h^2 + 3h$は$3h$ の符号に支配されるので負の値になります。

したがって、$|h^2+3h| = -(h^2+3h)$ となります。

$\lim_{h \to -0} \frac{|h^2+3h|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-(h^2+3h)}{h} = \lim_{h \to -0} (-h-3) = -3$

したがって、$ケコ=-3$です。

右側極限は3、左側極限は-3なので、右極限と左極限は異なります。

以上より、$関数 f(x)はx=1で微分可能でない。$

3. 最終的な答え

カ：1

キ：3

ク：3

ケコ：-3

サ：異なる

シ：微分可能でない