関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ を定義に従って微分した結果を求める問題です。途中式が与えられており、「ア」「イ」「ウ」に当てはまるものを選択肢から選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ を定義に従って微分した結果を求める問題です。途中式が与えられており、「ア」「イ」「ウ」に当てはまるものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$の定義式に与えられた関数を代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$

次に、$f(x+h)$ の部分を計算します。

$\frac{1}{x+h}$ が「ア」に当てはまります。

$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}(\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{-h}{x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)}$

したがって、「イ」に当てはまるのは $-1$ です。

$\lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+0)} = \frac{-1}{x^2}$

したがって、「ウ」に当てはまるのは $-\frac{1}{x^2}$ です。

3. 最終的な答え

ア：$\frac{1}{x+h}$

イ：$-1$

ウ：$-\frac{1}{x^2}$

選択肢の中で当てはまるものは、(6)です。