関数 $y = \frac{1}{3x+1}$ を微分し、その結果を選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{3x+1}$ を微分し、その結果を選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{3x+1}$ を $y = (3x+1)^{-1}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分法を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を適用します。ここで、$u = 3x+1$ と置くと、$y = u^{-1}$となります。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 3 = -\frac{3}{(3x+1)^2}$

3. 最終的な答え

選択肢の④が $-\frac{3}{(3x+1)^2}$ なので、答えは④です。